منطق ریاضی 3

خُب برگردیم* به موضوع منطق ریاضی، به خاطر روزهای بسیار پرمشغله‌ام کمتر فرصت تمرکز داشتم و کتابش بسیار تمرکز می‌خواهد چون موضوع حساس است و ظریف ولی به هر حال بخش «معناشناسی منطق گزاره‌ها» کتاب دکتر اردشیر (کتاب را عوض کردم :)) ) را بیش از سه چهار بار با فواصل طولانی خواندم تا بفهمم موضوع چیست، دست کم فکر می‌کنم که فهمیده‌ام، هیجان‌انگیز بود.

تا اینجا تلاش بر این بود که به صورت نحوی و کاملا صوری به کمک نظریه مجموعه‌ها، گزاره‌های منطق را شکل بدهیم. تفکیک زبان منطق گزاره‌ها به نمادهای گزاره‌ای یا اتم‌های زبان (یا گزاره‌های اتمی) و نمادهای گزاره‌ای (عطف و شرط و .) که خودش مسئله‌ای غیربدیهی است از جذابیت‌های این بخش بود که البته اصل جذابیت آن در بخش بعد است که می‌گویم (یک تفکیک دیگر هم هست که از آن هم جالبتر است: تفکیک زبان منطق گزاره‌ها و فرازبانی که منطق گزاره‌ها در آن بررسی می‌شود هم جالب است، یعنی ما باید زبانی را که با آن زبانِ دیگری را بررسی کنیم جدی بگیریم، این تفکیکی است که ویتگنشتاین انجام نداده، یعنی با خودِ زبان زبان را توصیف کرده). بعد با ادات شرط و فصل و عطف و غیره، نحوه «درست» ترکیب آنها با تعریف استقرایی تعریف می‌کنیم. باز به عبارتی «درست» را تعریف می‌کنیم. با قضیه بازگشت می‌توان نشان داد روی گزاره‌ها (چه اتمی چه ترکیبی) می‌شود تابع تعریف کرد (از مجموعه گزاره‌ها به روی هر مجموعه‌ای)، از این قضیه می‌توان استفاده کرد تا نشان داد که روی گزاره‌ها تابع ارزش هم می‌توان تعریف کرد، یعنی به طور یکتا ارزش گزاره‌ها را تعیین کرد (که البته وما دو ارزشی نیست) تا اینجا درست، از اینجا به بعد که به معناشناسی می‌رسد جذابتر هم می‌شود.

 بدیهی است که می‌توان روی گزاره‌ها تابع دو ارزشی تعریف کرد، گزاره‌ها یا درست هستند یا نا درست یا T هستند یا F یا ارزش صفر دارند یا یک! پس کافی است بدانیم که می‌شود تابعی تعریف کرد که هر گزاره را یا به یک نسبت دهد یا صفر که قضیه قبلی این توانایی را تضمین کرده. حالا که این توانایی تضمین شده آیا می‌توان بیشتر از این هم فهمید؟ بله! تعبیر، تابعی از روی گزاره‌ها به مجموعه صفر و یک است با قواعد ترکیب طبیعی (یعنی مثلا یک و صفر میشود صفر) و می‌توان اثبات کرد اگر ارزش گزاره‌های اتمی را بدانیم ارزش هر گزاره را به طور یکتا می‌دانیم. اگر دو تعبیر راجع به گزاره‌های اتمی موافق باشند آنگاه راجع به هر گزاره‌ای موافق‌اند. تا اینجا نیمچه بدیهی است اما نقش تعبیر در تعاریف بعدی جالب است.

می‌گوییم مجموعه از گزاره‌ها مثل الف نتیجه معنا شناسانه مجموعه دیگری از گزاره‌ها مثل ب است اگر هر تعبیری که همه گزاره‌های ب را برقرار کند، الف را هم برقرار کند (برعکسش لازم نیست، اگر برعکسش هم درست باشد آنگاه اساس دو مجموعه گزاره‌ها معادل هستند) و جذابیت دیگر همانگویی است: گزاره‌هایی که با هر تعبیری راست هستند. بعدا به این «راست» بودن بر می‌گردم اما الان دو تا نتیجه جالب را بگویم: یکی این که اساسا می‌توان راجع به همانگو بودن هر گزاره تصمیم گیری کرد: جدول درستی گزاره‌ها الگوریتمی پایانپذیر است پس می‌توان راجع به همانگو بودن تصمیم گرفت، کافی است تمام تعابیر ممکن را امتحان کنید. نتیجه جالب دیگر این است که اساسا می‌توان با هر تعبیری راجع به درستی و نادرستی گزاره تصمیم گرفت آن هم به طور با پایان و یکتا (این نتیجه همان قضیه است که میگوید میتوان روی گزاره‌ها تابعی یکتا تعریف کرد) حالا گزاره های تصمیم ناپذیر چه هستند؟ هنوز نمی دانم! یک قضیه جانشینی هم اثبات می کند که جالب است.

اما جالبترین قسمت برای من این حرف بود که معنی تعبیر چیست، تعبیرهای مختلف را گاهی «مدل» های مختلف هم می‌گویند، این بسیار جالب بود چرا که معنی این که یک گزاره با یک مدل درست است یا با مدلی دیگر غلط نشان می‌دهد که ما با گزاره‌ها جهان را چطور می‌فهمیم. گزاره‌های همان گو هم با وجود «درست» بودنشان هیچ اطلاعاتی به ما نمی‌دهند چون اساسا با هر مدلی درست هستند، درستی این گزاره‌ها صرفا در «نحو» و «دستور زبان» ما تعریف و تضمین شده نه در جایی آن بیرون و به زبان خودِ منطق گزاره‌ها این گزاره‌ها اساسا چیزی نمی‌گویند. اما شهودِ جذاب دیگری که از این کلمه «مدل» به ذهنم می‌آید راجع به ارتباط ریاضی با جهان و ساختار خود ریاضی است. ریاضی مجموعه‌ای گزاره اتمی دارد با مجموعه‌ای دیگر از گزاره‌های ترکیبی که به هم مربوط می‌شوند. اگر مدلی داشته باشیم که گزاره‌های اتمی یک ساختار ریاضی (مثل جبر خطی) را صادق کند و آن مدل بر جهان منطبق باشد آنگاه تمام قضایای آن ساختار ریاضی صادق و منطبق بر جهان خواهند بود (البته که این منطبق بر جهان بودن می‌تواند محل هزار جور مناقشه باشد) و صد البته من هنوز مدل استنتاج ریاضی را نخوانده‌ام، بخش بعدی مدل کردن استنتاج ریاضی است.

پ.ن: دارد جالبتر میشود.

*برگردم؟ کجا برگردم، به زندگی؟ به زندگی که با هر نفس و هر روزی که می‌گذرد یک قدم به مرگ نزدیکتر می‌شوم؟